WebLab STEM

Toán học · 4. Hình học và đo lường

Từ hình vẽ đến chứng minh hình học

Dùng định nghĩa, quan hệ góc, đồng dạng và định lý Pythagoras để lập luận thay vì đo hình.

40 phútPhiên bản nội dung: 2.1
Bắt đầu lộ trình tương tácMở thí nghiệm mô phỏng

Câu hỏi dẫn đường

Điều gì biến một hình vẽ gợi ý thành một chứng minh đúng cho mọi trường hợp?

Phạm vi chương trình

GDPT Toán 6–10; Cambridge IGCSE Geometry and mensuration.

Phạm vi và giới hạn mô hình

Hình vẽ không nhất thiết theo tỉ lệ; đo trên màn hình chỉ tạo giả thuyết, không thay thế chứng minh.

Mục tiêu học tập

  • Dùng quan hệ góc, tính chất tam giác và định lý Cosin/Sin.
  • Áp dụng Pythagoras và công thức Heron tính diện tích.
  • Trình bày chuỗi mệnh đề–lý do rõ ràng.

Kiến thức cần biết trước

  • Bình phương, căn bậc hai và đơn vị độ dài.

Kiến thức trọng tâm

Pythagoras

Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Hệ thức lượng và Heron

Định lý Cosin: a² = b² + c² − 2bc·cos(A); Định lý Sin: a/sin(A) = 2R. Diện tích: S = (1/2)bc·sin(A) = √(p(p−a)(p−b)(p−c)) với p = (a+b+c)/2.

Góc giữa hai mặt phẳng & Hình chiếu

Góc giữa hai mặt phẳng được xác định qua hai đường vuông góc giao tuyến hoặc qua công thức hình chiếu diện tích cos(φ) = S′/S (với S′ là diện tích hình chiếu của hình diện tích S).

Các đường và điểm kinh điển trong tam giác phẳng

Đường thẳng Euler: Trực tâm H, Trọng tâm G và Tâm ngoại tiếp O thẳng hàng với vec(HG) = 2 vec(GO). Đường tròn 9 điểm Feuerbach đi qua 3 trung điểm cạnh, 3 chân đường cao và 3 trung điểm đoạn nối H với các đỉnh, bán kính R_N = R/2. Định lý Simson: Hình chiếu của điểm P trên đường tròn ngoại tiếp lên 3 cạnh tam giác luôn thẳng hàng.

Hình học không gian: Khoảng cách & Bán kính mặt cầu ngoại tiếp

1. Khoảng cách từ chân đường cao A đến mặt bên (SBC) dùng kỹ thuật 2 nét kẻ: 1/h² = 1/SA² + 1/AK² (với AK ⊥ BC). 2. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp có cạnh bên vuông góc đáy: R_cầu = √(R_đáy² + (h/2)²); chóp đều: R_cầu = SA² / (2h); chóp có mặt bên vuông góc đáy: R_cầu = √(R_đáy² + R_bên² − (a_chung/2)²).

Ví dụ mẫu có giải thích

Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 6 và 8: c² = 6²+8² = 100 nên c = 10 (lấy căn dương vì độ dài dương).

Ngộ nhận cần tránh

  • Cạnh huyền luôn đối diện góc vuông, không phải cạnh “trông dài nhất” trên hình méo.
  • AAA chứng minh đồng dạng nhưng không chứng minh hai tam giác bằng nhau.
  • Khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến mặt phẳng phải dời tỉ lệ về chân đường cao trước khi áp dụng hệ thức nghịch đảo bình phương 2 nét kẻ.

Quy trình thí nghiệm mô phỏng: Chứng minh định lý Pythagoras

  1. Đánh dấu dữ kiện, điều phải chứng minh và không tự thêm giả thiết từ hình.
  2. Chọn định lý có điều kiện phù hợp và nêu rõ điều kiện đó.
  3. Kiểm tra đơn vị, dấu căn và tính hợp lý của độ dài/góc.

An toàn và lưu ý

  • Trong dựng hình số, kéo điểm để thử nhiều trường hợp kể cả hình gần suy biến trước khi tin một giả thuyết.

Bằng chứng cần thu thập

  • Bài giải có hình ký hiệu, chuỗi lập luận và kết luận đúng đơn vị.
Mở thí nghiệm mô phỏng
📋 Nhúng thí nghiệm này vào bài giảng điện tử (Dành cho Giáo viên & LMS)

Sao chép đoạn mã iframe dưới đây để nhúng mô phỏng tương tác này vào Google Sites, LMS Moodle, Canvas, Microsoft Teams hoặc blog học tập:

<iframe src="https://visuallab.win/math-lab/?module=pythagoras_proof&lang=vi" width="100%" height="560" frameborder="0" allow="fullscreen" loading="lazy"></iframe>

Kiểm tra đầu vào

1. Cạnh huyền nằm ở đâu?

  1. Đối diện góc vuông
  2. Kề mọi góc nhọn
  3. Luôn nằm ngang
Xem đáp án và giải thích

Đáp án đúng: Đối diện góc vuông

Định nghĩa cạnh huyền là cạnh đối diện góc 90°.

2. Tổng góc trong tam giác phẳng bằng?

  1. 180°
  2. 360°
  3. 90°
Xem đáp án và giải thích

Đáp án đúng: 180°

Trong hình học Euclid phẳng, tổng là 180°.

Luyện tập vận dụng

1. Tam giác vuông có cạnh huyền 13 và một cạnh 5. Cạnh còn lại?

  1. 12
  2. 18
  3. 8
Xem đáp án và giải thích

Đáp án đúng: 12

√(13²−5²) = √144 = 12.

2. Tam giác có 3 cạnh a=13, b=14, c=15 có diện tích Heron bằng?

  1. 84
  2. 91
  3. 105
Xem đáp án và giải thích

Đáp án đúng: 84

Nửa chu vi p = (13+14+15)/2 = 21. S = √(21·8·7·6) = √7056 = 84.

3. Một đa giác có diện tích S = 40 nằm trong (P). Hình chiếu của nó lên (Q) có diện tích S′ = 20. Góc giữa (P) và (Q) bằng?

  1. 60°
  2. 30°
  3. 45°
Xem đáp án và giải thích

Đáp án đúng: 60°

Áp dụng công thức hình chiếu diện tích: cos(φ) = S′/S = 20/40 = 1/2 nên φ = 60°.

4. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc đáy, SA = 4, tam giác ABC vuông tại B có AB = 3. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng bao nhiêu?

  1. 2,4
  2. 3,5
  3. 5
Xem đáp án và giải thích

Đáp án đúng: 2,4

Vì AB ⊥ BC nên nét 1 chính là AB. Nét 2: hạ AH ⊥ SB. Khi đó d(A, (SBC)) = AH = (SA · AB) / √(SA² + AB²) = (4 · 3) / 5 = 2,4.

5. Trên đường thẳng Euler của một tam giác, hệ thức liên hệ vị trí giữa Trực tâm H, Trọng tâm G và Tâm ngoại tiếp O là gì?

  1. vec(HG) = 2 vec(GO)
  2. vec(HO) = 2 vec(HG)
  3. vec(OG) = 2 vec(GH)
Xem đáp án và giải thích

Đáp án đúng: vec(HG) = 2 vec(GO)

Trong mọi tam giác, Trọng tâm G nằm giữa Trực tâm H và Tâm ngoại tiếp O và chia đoạn HO theo tỉ số HG = 2 GO, tức vec(HG) = 2 vec(GO).

Nguồn kiểm tra chuyên môn

  1. Cambridge IGCSE Mathematics 0580 — đề cương và tài liệu chính thức
  2. Cambridge AS & A Level Mathematics 9709 — đề cương chính thức
  3. OpenStax Precalculus 2e — hàm số, hình học và xác suất

Nội dung được duy trì theo các nguồn trích dẫn bên dưới. Mô phỏng là mô hình học tập và không thay thế quy trình an toàn của phòng thí nghiệm thực.

Đơn vị xuất bản nội dung
WebLab STEM
Phụ trách kỹ thuật
Đức Tiến — Kỹ sư Điều khiển và Tự động hóa