WebLab STEM

Toán học · 5. Tọa độ, vectơ và phép biến hình

Mô tả hình học bằng tọa độ, ma trận biến đổi và đường cong Bézier

Liên kết hình học trực quan với quy tắc tọa độ, vectơ, ma trận biến đổi phẳng 2D (quay, đối xứng, co dãn, trượt) và đường cong tham số Bézier trong đồ họa máy tính.

40 phútPhiên bản nội dung: 2.1
Bắt đầu lộ trình tương tácMở thí nghiệm mô phỏng

Câu hỏi dẫn đường

Ta cần thông tin nào để xác định duy nhất một phép biến hình và xây dựng đường cong tham số mượt mà?

Phạm vi chương trình

GDPT Toán 6–10; Cambridge IGCSE / AS-Level transformations, matrices and parametric curves.

Phạm vi và giới hạn mô hình

Quy tắc ma trận chuẩn thường giả định tâm tại gốc; biến đổi quanh tâm khác cần tịnh tiến về gốc rồi chuyển lại.

Mục tiêu học tập

  • Mô tả tịnh tiến, quay, đối xứng và vị tự đầy đủ kèm đại lượng bất biến.
  • Biểu diễn phép biến hình phẳng bằng ma trận 2×2: ma trận quay R(θ), đối xứng M(θ), co dãn S và trượt (shear).
  • Tính tích ma trận hợp phép biến hình và xác định tính đảo hướng qua định thức det(M).
  • Hiểu bản chất tham số của đường cong Bézier bậc 2, bậc 3 qua đa thức Bernstein và thuật toán de Casteljau.

Kiến thức cần biết trước

  • Mặt phẳng tọa độ và số âm.
  • Phép nhân ma trận và vector 2D.

Kiến thức trọng tâm

Phép dời hình & Bất biến

Tịnh tiến, quay và đối xứng bảo toàn độ dài và góc. Phép dời hình thuận (tịnh tiến, quay) bảo toàn hướng tam giác (det = +1); phép dời hình nghịch (đối xứng trục) đảo ngược hướng đỉnh (det = −1).

Vị tự & Đồng dạng

Vị tự tâm C hệ số k gửi P đến P′ sao cho vector CP′ = k·CP. Diện tích hình ảnh biến đổi theo tỉ lệ k². Ma trận vị tự là k·I có định thức k².

Ma trận biến đổi phẳng 2D & Hợp phép biến hình

Mỗi phép biến đổi tuyến tính qua gốc tọa độ biểu diễn bởi ma trận 2×2. Ma trận quay góc θ: R(θ) = [[cos θ, −sin θ], [sin θ, cos θ]] có det = 1. Ma trận đối xứng qua đường thẳng góc θ: M(θ) = [[cos 2θ, sin 2θ], [sin 2θ, −cos 2θ]] có det = −1. Ma trận co dãn S = [[s_x, 0], [0, s_y]]. Ma trận trượt (shear): [[1, k], [0, 1]]. Thực hiện biến hình A trước rồi đến B biểu diễn bằng tích ma trận B · A (chú ý tính không giao hoán: B·A ≠ A·B).

Đường cong tham số Bézier & Thuật toán de Casteljau

Đường cong Bézier bậc 3 xác định bởi 4 điểm kiểm soát P₀, P₁, P₂, P₃: B(t) = (1−t)³P₀ + 3(1−t)²t P₁ + 3(1−t)t² P₂ + t³P₃ với t ∈ [0, 1]. Điểm đầu B(0) = P₀, điểm cuối B(1) = P₃. Tiếp tuyến đầu B′(0) = 3(P₁−P₀), tiếp tuyến cuối B′(1) = 3(P₃−P₂). Toàn bộ đường cong luôn nằm trong bao lồi của 4 điểm kiểm soát. Thuật toán de Casteljau cắt lát đoạn thẳng bằng nội suy tuyến tính đệ quy, là nền tảng của font vector TrueType và đồ họa máy tính CAD.

Ví dụ mẫu có giải thích

Ví dụ 1 (Ma trận quay): Ma trận quay 90° ngược chiều kim đồng hồ quanh O: R(90°) = [[0, −1], [1, 0]] biến điểm (3, −2) thành (0·3 + (−1)·(−2), 1·3 + 0·(−2)) = (2, 3). Ví dụ 2 (Đường cong Bézier bậc 3): Cho 4 điểm kiểm soát P₀(0, 0), P₁(0, 2), P₂(2, 2), P₃(2, 0). Tại t = 0,5: B(0,5) = (1/8)·P₀ + (3/8)·P₁ + (3/8)·P₂ + (1/8)·P₃ = (1, 1,5).

Ngộ nhận cần tránh

  • Mô tả phép quay phải có đủ 3 yếu tố: tâm, góc và chiều quay; quay quanh tâm I ≠ O cần tịnh tiến đưa I về O, nhân ma trận quay, rồi tịnh tiến ngược lại.
  • Tích ma trận không giao hoán (B·A ≠ A·B); áp dụng biến hình A rồi B phải nhân ma trận B vào bên trái của A: Y = (B·A)·X.
  • Các điểm kiểm soát P₁, P₂ trong đường cong Bézier bậc 3 thông thường KHÔNG nằm trên đường cong mà đóng vai trò định hướng tiếp tuyến và lực uốn.

Quy trình thí nghiệm mô phỏng: Phép biến hình phẳng

  1. Dự đoán ảnh của một điểm đặc trưng trước khi chạy mô phỏng.
  2. Áp dụng quy tắc cho mọi đỉnh và nối theo đúng thứ tự.
  3. Kiểm tra độ dài, góc, hướng và khoảng cách đến tâm tùy loại phép.

An toàn và lưu ý

  • Không suy luận từ hình bị kéo méo; dùng lưới và tọa độ số để kiểm tra.

Bằng chứng cần thu thập

  • Bảng điểm gốc–điểm ảnh, quy tắc biến đổi và danh sách bất biến đã kiểm tra.
Mở thí nghiệm mô phỏng
📋 Nhúng thí nghiệm này vào bài giảng điện tử (Dành cho Giáo viên & LMS)

Sao chép đoạn mã iframe dưới đây để nhúng mô phỏng tương tác này vào Google Sites, LMS Moodle, Canvas, Microsoft Teams hoặc blog học tập:

<iframe src="https://visuallab.win/math-lab/?module=geom_transformations_2d&lang=vi" width="100%" height="560" frameborder="0" allow="fullscreen" loading="lazy"></iframe>

Kiểm tra đầu vào

1. Đối xứng qua trục y biến (x,y) thành?

  1. (−x,y)
  2. (x,−y)
  3. (y,x)
Xem đáp án và giải thích

Đáp án đúng: (−x,y)

Hoành độ đổi dấu, tung độ giữ nguyên.

2. Phép nào bảo toàn hướng của hình?

  1. Tịnh tiến
  2. Đối xứng trục
  3. Không phép nào
Xem đáp án và giải thích

Đáp án đúng: Tịnh tiến

Tịnh tiến không lật thứ tự các đỉnh.

3. Ma trận nào sau đây biểu diễn phép quay 90° ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ O?

  1. [[0, −1], [1, 0]]
  2. [[0, 1], [−1, 0]]
  3. [[1, 0], [0, 1]]
Xem đáp án và giải thích

Đáp án đúng: [[0, −1], [1, 0]]

Thay θ = 90° vào ma trận quay: cos(90°) = 0, sin(90°) = 1 nên thu được [[0, −1], [1, 0]].

4. Đặc trưng đại số nào chứng tỏ một ma trận biến đổi dời hình 2×2 làm đảo ngược hướng của hình vẽ (phép dời hình nghịch)?

  1. Định thức det(M) = −1
  2. Định thức det(M) = +1
  3. Định thức det(M) = 0
Xem đáp án và giải thích

Đáp án đúng: Định thức det(M) = −1

Phép dời hình bảo toàn khoảng cách có |det(M)| = 1. Khi det(M) = −1, hướng đỉnh bị lật ngược (như đối xứng trục).

Luyện tập vận dụng

1. Tịnh tiến bởi vector (−2,3) đưa (5,1) tới?

  1. (3,4)
  2. (7,−2)
  3. (−10,3)
Xem đáp án và giải thích

Đáp án đúng: (3,4)

Cộng tọa độ: (5−2, 1+3) = (3,4).

2. Quay 180° quanh gốc biến (4,−1) thành?

  1. (−4,1)
  2. (1,4)
  3. (4,1)
Xem đáp án và giải thích

Đáp án đúng: (−4,1)

(x,y) → (−x,−y).

3. Vị tự hệ số −2 có ý nghĩa?

  1. Gấp đôi và qua phía đối diện tâm
  2. Giảm một nửa cùng phía
  3. Chỉ đối xứng trục
Xem đáp án và giải thích

Đáp án đúng: Gấp đôi và qua phía đối diện tâm

Độ lớn 2 tăng kích thước; dấu âm đổi phía qua tâm.

4. Cho đường cong Bézier bậc 3 có 4 điểm kiểm soát P₀, P₁, P₂, P₃. Vectơ tiếp tuyến tại điểm đầu P₀ (ứng với t = 0) là gì?

  1. 3 · (vec(P₁) − vec(P₀))
  2. vec(P₁) − vec(P₀)
  3. vec(P₃) − vec(P₀)
Xem đáp án và giải thích

Đáp án đúng: 3 · (vec(P₁) − vec(P₀))

Đạo hàm B′(t) tại t = 0 là B′(0) = 3(P₁ − P₀), tiếp tuyến tại điểm đầu luôn cùng phương với vector P₀P₁ và có độ lớn gấp 3 lần.

5. Áp dụng ma trận quay R(90°) = [[0, −1], [1, 0]], ảnh của điểm A(4, −3) qua phép quay 90° ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ là điểm nào?

  1. (3, 4)
  2. (−3, −4)
  3. (4, 3)
Xem đáp án và giải thích

Đáp án đúng: (3, 4)

Tính tích ma trận: x′ = 0·4 + (−1)·(−3) = 3, y′ = 1·4 + 0·(−3) = 4. Tọa độ điểm ảnh là (3, 4).

Nguồn kiểm tra chuyên môn

  1. Cambridge IGCSE Mathematics 0580 — đề cương và tài liệu chính thức
  2. Cambridge AS & A Level Mathematics 9709 — đề cương chính thức
  3. OpenStax Precalculus 2e — hàm số, hình học và xác suất

Nội dung được duy trì theo các nguồn trích dẫn bên dưới. Mô phỏng là mô hình học tập và không thay thế quy trình an toàn của phòng thí nghiệm thực.

Đơn vị xuất bản nội dung
WebLab STEM
Phụ trách kỹ thuật
Đức Tiến — Kỹ sư Điều khiển và Tự động hóa