WebLab STEM

Toán học · 7. Dãy số và cấp số

Cấp số cộng, cấp số nhân và mô hình tăng trưởng

Nhận dạng quy luật, xây số hạng tổng quát, tính tổng hữu hạn và kiểm tra điều kiện hội tụ của cấp số nhân vô hạn.

45 phútPhiên bản nội dung: 2.2
Bắt đầu lộ trình tương tácMở thí nghiệm mô phỏng

Câu hỏi dẫn đường

Làm sao phân biệt một quy luật cộng đều với tăng theo tỉ lệ và chọn đúng mô hình?

Phạm vi chương trình

GDPT Toán 11; Cambridge IGCSE 0580 Extended và AS & A Level 9709: sequences, series và growth models.

Phạm vi và giới hạn mô hình

Công thức cấp số chỉ áp dụng khi hiệu hoặc tỉ số thực sự không đổi. Mô hình lãi kép giả định lãi suất và chu kỳ ghép lãi cố định; dữ liệu thực có thể không thỏa giả định này.

Mục tiêu học tập

  • Suy ra số hạng tổng quát của cấp số cộng và cấp số nhân.
  • Tính tổng n số hạng và giải bài toán tìm n bằng điều kiện thực tế.
  • Chỉ dùng tổng vô hạn khi |q| < 1 và diễn giải giới hạn.

Kiến thức cần biết trước

  • Lũy thừa, phương trình và biến đổi đại số.
  • Tỉ lệ phần trăm và logarit cơ bản ở bài tìm số kỳ.

Kiến thức trọng tâm

Cấp số cộng

Nếu uₙ₊₁ − uₙ = d không đổi thì uₙ = u₁ + (n−1)d và Sₙ = n[2u₁+(n−1)d]/2.

Cấp số nhân

Nếu uₙ₊₁/uₙ = q không đổi thì uₙ = u₁qⁿ⁻¹ và Sₙ = u₁(1−qⁿ)/(1−q) với q ≠ 1.

Tổng vô hạn

Khi |q| < 1, qⁿ → 0 nên S∞ = u₁/(1−q). Nếu |q| ≥ 1 và u₁ ≠ 0, các tổng riêng không hội tụ về một số hữu hạn.

Ví dụ mẫu có giải thích

Cấp số nhân có u₁ = 3 và u₄ = 24. Từ 3q³ = 24 suy ra q³ = 8 nên q = 2. Tổng sáu số hạng đầu S₆ = 3(2⁶−1)/(2−1) = 189. Không được dùng công thức tổng vô hạn vì |q| = 2.

Ngộ nhận cần tránh

  • Số hạng thứ n của cấp số cộng có (n−1)d, không phải nd, vì u₁ chưa qua bước tăng nào.
  • Tăng 5% mỗi kỳ là nhân 1,05, không phải cộng một lượng cố định bằng 5% giá trị ban đầu.
  • Một dãy uₙ tiến về 0 chưa đủ để tổng ∑uₙ hội tụ; đó chỉ là điều kiện cần.

Quy trình thí nghiệm mô phỏng: Dãy số và tổng cấp số

  1. Nhập ít nhất năm số hạng, kiểm tra hiệu liên tiếp và tỉ số liên tiếp trước khi chọn mô hình.
  2. Dự đoán uₙ và Sₙ bằng đại số rồi so sánh với bảng/đồ thị mô phỏng.
  3. Thử q ở hai phía của ngưỡng |q| = 1 để quan sát tổng riêng hội tụ hoặc phân kỳ.

An toàn và lưu ý

  • Đồ thị với số kỳ hữu hạn có thể trông ổn định dù dãy chưa hội tụ; luôn kiểm tra định nghĩa và điều kiện đại số.

Bằng chứng cần thu thập

  • Bảng n, uₙ, Sₙ cho ít nhất năm giá trị và công thức tạo ra bảng.
  • Một kiểm tra hiệu/tỉ số và kết luận có nêu rõ điều kiện hội tụ nếu dùng tổng vô hạn.
Mở thí nghiệm mô phỏng
📋 Nhúng thí nghiệm này vào bài giảng điện tử (Dành cho Giáo viên & LMS)

Sao chép đoạn mã iframe dưới đây để nhúng mô phỏng tương tác này vào Google Sites, LMS Moodle, Canvas, Microsoft Teams hoặc blog học tập:

<iframe src="https://visuallab.win/math-lab/?module=sequences_series&lang=vi" width="100%" height="560" frameborder="0" allow="fullscreen" loading="lazy"></iframe>

Kiểm tra đầu vào

1. Dãy 4, 7, 10, 13, … thuộc loại nào?

  1. Cấp số cộng d = 3
  2. Cấp số nhân q = 3
  3. Không có quy luật
Xem đáp án và giải thích

Đáp án đúng: Cấp số cộng d = 3

Hiệu hai số hạng liên tiếp luôn bằng 3.

2. Điều kiện hội tụ của tổng cấp số nhân vô hạn là?

  1. |q| < 1
  2. q > 1
  3. q ≠ 0
Xem đáp án và giải thích

Đáp án đúng: |q| < 1

Chỉ khi |q| < 1 thì qⁿ tiến về 0 đủ nhanh để tổng riêng có giới hạn hữu hạn.

3. Dãy tăng 8% mỗi năm có công bội bằng?

  1. 1,08
  2. 0,08
  3. 8
Xem đáp án và giải thích

Đáp án đúng: 1,08

Giá trị mới bằng 100% + 8% = 108% giá trị cũ.

Luyện tập vận dụng

1. Cấp số cộng có u₁ = 5, d = 3. u₁₀ bằng?

  1. 32
  2. 35
  3. 27
Xem đáp án và giải thích

Đáp án đúng: 32

u₁₀ = 5 + (10−1)×3 = 32.

2. Cấp số nhân có u₁ = 2, q = 3. S₄ bằng?

  1. 80
  2. 54
  3. 40
Xem đáp án và giải thích

Đáp án đúng: 80

S₄ = 2(3⁴−1)/(3−1) = 80.

3. Một quả bóng nảy lên 60% độ cao trước đó từ độ cao ban đầu 10 m. Tổng quãng đường sau vô hạn lần nảy lý tưởng là?

  1. 40 m
  2. 25 m
  3. 16 m
Xem đáp án và giải thích

Đáp án đúng: 40 m

Quãng đầu là 10 m; các đoạn lên và xuống sau đó có tổng 2(6+3,6+…) = 2×6/(1−0,6)=30 m. Tổng là 40 m.

Nguồn kiểm tra chuyên môn

  1. Cambridge IGCSE Mathematics 0580 — đề cương và tài liệu chính thức
  2. Cambridge AS & A Level Mathematics 9709 — đề cương chính thức
  3. OpenStax Precalculus 2e — hàm số, hình học và xác suất

Nội dung được duy trì theo các nguồn trích dẫn bên dưới. Mô phỏng là mô hình học tập và không thay thế quy trình an toàn của phòng thí nghiệm thực.

Đơn vị xuất bản nội dung
WebLab STEM
Phụ trách kỹ thuật
Đức Tiến — Kỹ sư Điều khiển và Tự động hóa