WebLab STEM

Toán học · 7. Giải tích

Đạo hàm, tiếp tuyến và diện tích có dấu

Quan sát giới hạn của hệ số góc dây cung và tổng Riemann.

45 phútPhiên bản nội dung: 2.1
Bắt đầu lộ trình tương tácMở thí nghiệm mô phỏng

Câu hỏi dẫn đường

Một dãy phép tính gần đúng khi nào đủ để gợi ý một giới hạn chính xác?

Phạm vi chương trình

GDPT 2018 và Cambridge AS/A Level: đạo hàm, tiếp tuyến và tích phân xác định.

Phạm vi và giới hạn mô hình

Hình ảnh số chỉ gợi ý giới hạn; kết luận chính xác cần điều kiện khả vi/tích phân và lập luận đại số.

Mục tiêu học tập

  • Giải thích đạo hàm là tốc độ thay đổi tức thời.
  • Liên kết dấu đạo hàm với chiều biến thiên.
  • Phân biệt tích phân xác định với diện tích hình học không âm.

Kiến thức cần biết trước

  • Hàm số, hệ số góc và giới hạn cơ bản

Kiến thức trọng tâm

Đạo hàm tại một điểm

f′(x) là giới hạn hệ số góc dây cung khi khoảng tăng tiến về 0.

Điểm dừng

f′(x) = 0 là điều kiện điểm dừng, nhưng cần xét dấu hoặc đạo hàm bậc hai để phân loại.

Diện tích có dấu

Phần dưới trục x đóng góp âm vào tích phân xác định.

Ví dụ mẫu có giải thích

Với f(x)=x² tại x=3, hệ số góc dây cung [f(3+h)−f(3)]/h = 6+h tiến tới 6 khi h→0.

Ngộ nhận cần tránh

  • f′(a)=0 chỉ cho điểm dừng; chưa đủ kết luận cực đại hoặc cực tiểu.
  • Tích phân xác định là diện tích có dấu; tổng diện tích hình học cần chia tại nghiệm và lấy độ lớn từng phần.

Quy trình thí nghiệm mô phỏng: Đạo hàm và tích phân

  1. Chọn f(x), một điểm x và giảm dần khoảng h của dây cung.
  2. Ghi hệ số góc và so sánh với f′(x) tính đại số.
  3. Chia miền tích phân thành nhiều hình chữ nhật và quan sát tổng hội tụ.

An toàn và lưu ý

  • Giá trị h quá nhỏ trên máy tính có thể gây sai số làm tròn.
  • Đồ thị không thay thế việc kiểm tra miền xác định.

Bằng chứng cần thu thập

  • Bảng h–hệ số góc cho cả h dương và âm tiến về 0.
  • So sánh gần đúng số với đạo hàm/tích phân tính bằng đại số và nêu sai số làm tròn.
Mở thí nghiệm mô phỏng

Kiểm tra đầu vào

1. Ý nghĩa hình học của f′(a) là gì?

  1. Hệ số góc tiếp tuyến tại x = a
  2. Diện tích dưới đồ thị
  3. Tung độ gốc
Xem đáp án và giải thích

Đáp án đúng: Hệ số góc tiếp tuyến tại x = a

Đạo hàm tại điểm là hệ số góc tiếp tuyến nếu hàm khả vi.

2. Nếu f′(x) > 0 trên một khoảng thì f thường thế nào?

  1. Tăng
  2. Giảm
  3. Luôn bằng 0
Xem đáp án và giải thích

Đáp án đúng: Tăng

Đạo hàm dương biểu thị tốc độ thay đổi dương.

3. Phần đồ thị dưới trục x đóng góp thế nào vào tích phân?

  1. Giá trị âm
  2. Giá trị dương tuyệt đối
  3. Không đóng góp
Xem đáp án và giải thích

Đáp án đúng: Giá trị âm

Tích phân xác định là diện tích có dấu.

Luyện tập vận dụng

1. Với f(x) = x², f′(3) bằng bao nhiêu?

  1. 6
  2. 9
  3. 3
Xem đáp án và giải thích

Đáp án đúng: 6

f′(x) = 2x nên f′(3) = 6.

2. f′(a) = 0 có đủ để kết luận a là cực đại không?

  1. Không, cần xét dấu hoặc tiêu chí khác
  2. Có, luôn là cực đại
  3. Có, nếu a dương
Xem đáp án và giải thích

Đáp án đúng: Không, cần xét dấu hoặc tiêu chí khác

Điểm dừng có thể là cực đại, cực tiểu hoặc điểm uốn dừng.

3. Muốn tính tổng diện tích hình học khi đồ thị cắt trục x cần làm gì?

  1. Chia khoảng tại nghiệm và cộng trị tuyệt đối các tích phân
  2. Lấy một tích phân rồi bỏ dấu
  3. Chỉ tính phần trên trục
Xem đáp án và giải thích

Đáp án đúng: Chia khoảng tại nghiệm và cộng trị tuyệt đối các tích phân

Các phần dưới trục có tích phân âm nhưng diện tích hình học phải lấy dương.

Nguồn kiểm tra chuyên môn

  1. OpenStax Precalculus 2e — hàm số, hình học và xác suất

Nội dung được duy trì theo các nguồn trích dẫn bên dưới. Mô phỏng là mô hình học tập và không thay thế quy trình an toàn của phòng thí nghiệm thực.

Đơn vị xuất bản nội dung
WebLab STEM
Phụ trách kỹ thuật
Đức Tiến — Kỹ sư Điều khiển và Tự động hóa