WebLab STEM

Toán học · 11. Số phức & Công thức De Moivre

Số phức, dạng lượng giác, công thức Euler và định lý De Moivre

Khám phá tập số phức C, biểu diễn hình học trên mặt phẳng Argand, dạng lượng giác và ứng dụng công thức De Moivre.

40 phútPhiên bản nội dung: 2.1
Bắt đầu lộ trình tương tácMở thí nghiệm mô phỏng

Câu hỏi dẫn đường

Tại sao một đơn vị ảo i² = −1 lại có thể mở rộng toàn bộ không gian số học và biến phép nhân đại số thành phép quay hình học tuyệt đẹp?

Phạm vi chương trình

GDPT 2018 Toán học 12 (Chuyên đề Số phức); Cambridge AS & A Level Mathematics 9709 (Pure Mathematics P3); AP Calculus BC.

Phạm vi và giới hạn mô hình

Bao gồm đại số số phức, dạng lượng giác, công thức De Moivre và căn bậc n của đơn vị; không bao gồm giải tích hàm biến phức Cauchy-Riemann.

Mục tiêu học tập

  • Thực hiện thành thạo các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, tính môđun và số phức liên hợp trên tập C.
  • Chuyển đổi linh hoạt giữa dạng đại số z = a + bi và dạng lượng giác z = r(cos θ + i sin θ) = r e^(iθ).
  • Vận dụng công thức De Moivre zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ) để tính lũy thừa bậc cao và khai căn số phức.

Kiến thức cần biết trước

  • Lượng giác học cơ bản: giá trị sin, cos trên vòng tròn đơn vị và công thức cộng góc.
  • Tọa độ phẳng Oxy và khoảng cách Euclid (định lý Pythagoras).

Kiến thức trọng tâm

Đơn vị ảo và mặt phẳng phức Argand

Đơn vị ảo thỏa mãn i² = −1. Mỗi số phức z = a + bi được biểu diễn duy nhất bởi điểm M(a, b) trên mặt phẳng Argand. Môđun |z| = √(a² + b²) là khoảng cách từ gốc O đến M.

Dạng lượng giác và ý nghĩa hình học

z = r(cos θ + i sin θ) với r = |z| và argument θ = arg(z). Nhân hai số phức z₁·z₂ = r₁r₂[cos(θ₁ + θ₂) + i sin(θ₁ + θ₂)]: nhân độ dài và cộng góc quay.

Định lý De Moivre và công thức Euler

Với mọi số nguyên n: [r(cos θ + i sin θ)]ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ). Hệ thức Euler e^(iθ) = cos θ + i sin θ cho đẳng thức Euler nổi tiếng e^(iπ) + 1 = 0.

Ví dụ mẫu có giải thích

Tính z¹⁰ với z = 1 + i. Ta có môđun r = √(1² + 1²) = √2, argument θ = π/4 (vì cos θ = 1/√2, sin θ = 1/√2). Áp dụng De Moivre: z¹⁰ = (√2)¹⁰ [cos(10π/4) + i sin(10π/4)] = 2⁵ [cos(5π/2) + i sin(5π/2)] = 32 [0 + i(1)] = 32i.

Ngộ nhận cần tránh

  • Phép nhân số phức với i về bản chất hình học là một phép quay vector một góc 90° (π/2 rad) ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ.
  • Số phức không có quan hệ thứ tự lớn hơn / nhỏ hơn (không thể so sánh z₁ > z₂ hay z₁ < z₂ trên tập C; chỉ có thể so sánh độ lớn môđun |z₁| > |z₂|).

Quy trình thí nghiệm mô phỏng: Số phức, mặt phẳng Argand và lũy thừa De Moivre

  1. Khởi động mô phỏng Mặt phẳng Argand, kéo thả điểm biểu diễn số phức z để quan sát tọa độ (a, b) và (r, θ).
  2. Thiết lập số mũ n trên thanh trượt và quan sát quỹ đạo phân bố các lũy thừa z², z³, ..., zⁿ theo đường xoắn ốc Archimedes.
  3. Bật chế độ tìm căn bậc n của đơn vị để quan sát n đỉnh của đa giác đều nội tiếp đường tròn đơn vị.

An toàn và lưu ý

  • Mô phỏng toán học an toàn tuyệt đối; lưu ý sai số làm tròn số thực trong thuật toán lượng giác máy tính.

Bằng chứng cần thu thập

  • Bảng chuyển đổi qua lại giữa tọa độ Descartes (a, b) và tọa độ cực (r, θ) của số phức.
  • Hình vẽ biểu diễn các căn bậc n tạo thành đa giác đều trên mặt phẳng phức.
Mở thí nghiệm mô phỏng
📋 Nhúng thí nghiệm này vào bài giảng điện tử (Dành cho Giáo viên & LMS)

Sao chép đoạn mã iframe dưới đây để nhúng mô phỏng tương tác này vào Google Sites, LMS Moodle, Canvas, Microsoft Teams hoặc blog học tập:

<iframe src="https://visuallab.win/math-lab/?module=complex_numbers_moivre&lang=vi" width="100%" height="560" frameborder="0" allow="fullscreen" loading="lazy"></iframe>

Kiểm tra đầu vào

1. Môđun của số phức z = 3 − 4i bằng bao nhiêu?

  1. 5
  2. 7
  3. −1
Xem đáp án và giải thích

Đáp án đúng: 5

|z| = √(3² + (−4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

2. Số phức liên hợp của z = 2 + 5i là gì?

  1. 2 − 5i
  2. −2 + 5i
  3. −2 − 5i
Xem đáp án và giải thích

Đáp án đúng: 2 − 5i

Số phức liên hợp của a + bi là a − bi (đổi dấu phần ảo).

Luyện tập vận dụng

1. Dạng lượng giác của số phức z = −1 + i√3 có argument chính θ bằng bao nhiêu?

  1. 2π/3 (120°)
  2. π/3 (60°)
  3. 5π/6 (150°)
Xem đáp án và giải thích

Đáp án đúng: 2π/3 (120°)

r = √((−1)² + (√3)²) = 2. cos θ = −1/2, sin θ = √3/2 nên điểm nằm ở góc phần tư thứ II, θ = 2π/3.

2. Theo công thức De Moivre, giá trị của (cos(π/6) + i sin(π/6))⁶ bằng bao nhiêu?

  1. −1
  2. 1
  3. i
Xem đáp án và giải thích

Đáp án đúng: −1

[cos(π/6) + i sin(π/6)]⁶ = cos(6×π/6) + i sin(6×π/6) = cos π + i sin π = −1 + 0 = −1.

3. Các căn bậc 3 của 1 (roots of unity) tạo thành hình gì trên mặt phẳng Argand?

  1. Tam giác đều
  2. Tam giác vuông cân
  3. Đoạn thẳng
Xem đáp án và giải thích

Đáp án đúng: Tam giác đều

Ba căn bậc 3 có cùng môđun r = 1 và cách đều nhau góc 2π/3 = 120°, tạo thành các đỉnh của một tam giác đều nội tiếp đường tròn đơn vị.

Nguồn kiểm tra chuyên môn

  1. Cambridge IGCSE Mathematics 0580 — đề cương và tài liệu chính thức
  2. Cambridge AS & A Level Mathematics 9709 — đề cương chính thức
  3. OpenStax Precalculus 2e — hàm số, hình học và xác suất

Nội dung được duy trì theo các nguồn trích dẫn bên dưới. Mô phỏng là mô hình học tập và không thay thế quy trình an toàn của phòng thí nghiệm thực.

Đơn vị xuất bản nội dung
WebLab STEM
Phụ trách kỹ thuật
Đức Tiến — Kỹ sư Điều khiển và Tự động hóa