Phòng Thí Nghiệm Toán Học Ảo K-6 đến K-12 & IGCSE / A-Level
• $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$
• $(u \cdot v)' = u'v + uv'$
• $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
• $(\sin x)' = \cos x; \quad (\cos x)' = -\sin x$
• $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \ne -1)$
• $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$
• $\int e^x dx = e^x + C$
• $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$ (Newton–Leibniz)
• Combinations: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
• Permutations: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
• Binomial theorem: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k} b^k$
• Classical probability: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$
• $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
• $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}; \quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$
• $\sin 2x = 2\sin x \cos x$
• $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1$
• Linear in $\sin x, \cos x$: write $a\sin x + b\cos x = c$ as $\sin(x+\varphi) = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$ after normalising by $\sqrt{a^2+b^2}$
• Quadratic form: for $a\sin^2 x + b\sin x + c = 0$, set $t = \sin x$ with $|t| \le 1$; use $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ when needed
• Homogeneous form: check $\cos x=0$, then divide by $\cos^2 x$ to obtain $(a-d)\tan^2 x + b\tan x + (c-d) = 0$
• Symmetric form: set $t = \sin x \pm \cos x$, so $\sin x\cos x = \pm\frac{t^2-1}{2}$ and $|t| \le \sqrt{2}$
• Product and bounds: factor into $A \cdot B = 0$ or apply $|\sin u| \le 1$ and $|\cos u| \le 1$.
• $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$
• $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + \dots$
• $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$
• $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$
• $\det(A) = ad - bc \quad (2 \times 2)$
• $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \operatorname{adj}(A)$
• Characteristic equation: $\det(A - \lambda I) = 0$
• Matrix diagonalisation: $P^{-1}AP = D$
• $y' + P(x)y = Q(x) \Rightarrow y = e^{-\int P dx}\left[\int Q e^{\int P dx} dx + C\right]$
• Second-order linear equation: $y'' + ay' + by = 0$
• Characteristic equation: $k^2 + ak + b = 0$
• Simple harmonic motion: $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$
• $f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n\cos nx + b_n\sin nx)$
• Gradient: $\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$
• Green's theorem: $\oint_C Pdx + Qdy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$
• Opposite angles: $\widehat{A} + \widehat{C} = 180^\circ, \quad \widehat{B} + \widehat{D} = 180^\circ$
• Ptolemy's theorem: $AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$
• Power of a point: $\mathcal{P}_{P/(O)} = PA \cdot PB = PT^2 = d^2 - R^2$
• Tangent–chord theorem: the angle between a tangent and chord equals the angle in the alternate segment
• Thales' intercept theorem ($MN \parallel BC$): $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$
• Ceva's theorem (concurrency): $\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$
• Menelaus' theorem (collinearity, directed ratios): $\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CP}{PA} = -1$
• Apollonius' median formula: $m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$
• Distance from point $M$ to plane $Ax+By+Cz+D=0$: $d=\frac{|Ax_M+By_M+Cz_M+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
• Point-transfer technique: $\frac{d(M,(P))}{d(A,(P))}=\left|\frac{MI}{AI}\right|$ when $M,A,I$ are collinear and $I\in(P)$
• Line–plane angle: $\sin\theta = \frac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{|\vec{u}|\,|\vec{n}|}$
• Acute angle between planes: $\cos\theta = \frac{|\vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q|}{|\vec{n}_P|\,|\vec{n}_Q|}$
• Right pyramid with $SA\perp$ base: $R_{\mathrm{sphere}} = \sqrt{R_{\mathrm{base}}^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2}$
• Regular pyramid: $R_{\mathrm{sphere}} = \frac{l^2}{2h} = \frac{R_{\mathrm{base}}^2 + h^2}{2h}$
• Frustum volume: $V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2)$
• Curved surface area of a frustum: $S = \pi (R + r)l$
• Euler's formula: $V - E + F = 2$ (vertices $-$ edges $+$ faces $= 2$)
• Tetrahedron $\{3,3\}$: 4V–6E–4F, $V_{\mathrm{solid}} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$
• Cube $\{4,3\}$: 8V–12E–6F, $V_{\mathrm{solid}} = a^3$
• Octahedron $\{3,4\}$: 6V–12E–8F, $V_{\mathrm{solid}} = \frac{a^3\sqrt{2}}{3}$
• Dodecahedron $\{5,3\}$: 20V–30E–12F; icosahedron $\{3,5\}$: 12V–30E–20F
• Prism volume: $V = S_{\mathrm{base}}h$
• Height of an oblique prism: $h = l\sin\alpha$, where $\alpha$ is the angle between a lateral edge and the base plane
• Space diagonal of a cuboid: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$
• Scalar triple product: $V = |\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})|$
• Spherical-cap volume: $V_{\mathrm{cap}} = \pi h^2 \left(R - \frac{h}{3}\right)$
• Spherical-cap area: $S_{\mathrm{cap}} = 2\pi Rh$
• Torus volume and area: $V = 2\pi^2 Rr^2, \quad S = 4\pi^2 Rr$
• Pappus's centroid theorem: $V = 2\pi d_G \cdot S_{\mathrm{region}}$
• Triangle area: $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}|\vec{AB}\times\vec{AC}|$
• Tetrahedron volume: $V_{ABCD} = \frac{1}{6}|(\vec{AB}\times\vec{AC})\cdot\vec{AD}|$
• Parallelepiped volume: $V = |(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}|$
• Distance between skew lines: $d = \frac{|(\vec{u}_1\times\vec{u}_2)\cdot\vec{M_1M_2}|}{|\vec{u}_1\times\vec{u}_2|}$
• Ellipsoid: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \Rightarrow V = \frac{4}{3}\pi abc$
• One-sheet hyperboloid: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$
• Two-sheet hyperboloid: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$
• Hyperbolic paraboloid: $z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}$
• Congruence: $a \equiv b \pmod m \Leftrightarrow m \mid (a-b)$
• Fermat's little theorem: if $p$ is prime and $\gcd(a,p)=1$, then $a^{p-1}\equiv1\pmod p$
• Euler's theorem: if $\gcd(a,m)=1$, then $a^{\phi(m)}\equiv1\pmod m$
• Chinese remainder theorem: pairwise-coprime moduli give a unique solution modulo $M=\prod m_i$
• Bézout's identity: $\exists x_0,y_0\in\mathbb{Z}: ax_0+by_0=\gcd(a,b)=d$
• $ax+by=c$ has an integer solution if and only if $d\mid c$
• General solution: $x=x_0\frac{c}{d}+\frac{b}{d}t, \quad y=y_0\frac{c}{d}-\frac{a}{d}t$, $t\in\mathbb{Z}$
• Primitive Pythagorean triples: $x=m^2-n^2, y=2mn, z=m^2+n^2$ with $m>n>0$, $\gcd(m,n)=1$, and opposite parity
• Prime factorisation: $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k}$
• Euler's totient: $\phi(n)=n\prod_{i=1}^k\left(1-\frac{1}{p_i}\right)$
• Divisor count $\tau(n)=\prod(\alpha_i+1)$; divisor sum $\sigma(n)=\prod\frac{p_i^{\alpha_i+1}-1}{p_i-1}$
• RSA: $n=pq$, $\phi(n)=(p-1)(q-1)$, $ed\equiv1\pmod{\phi(n)}$; $C\equiv M^e\pmod n$, $M\equiv C^d\pmod n$
• Legendre's formula: $v_p(n!)=\sum_{k=1}^\infty\left\lfloor\frac{n}{p^k}\right\rfloor$
• Trailing zeros of $n!$: $v_5(n!)=\lfloor n/5\rfloor+\lfloor n/25\rfloor+\dots$
• Even perfect numbers: $n=2^{p-1}(2^p-1)$ when $2^p-1$ is a Mersenne prime
• Divisibility tests: digit sums for 3 and 9; last 2 digits for 4 and 25; last 3 for 8 and 125; alternating sum for 11
• Free-hanging catenary: $y=a\cosh(x/a)=\frac{a}{2}(e^{x/a}+e^{-x/a})$, where $a=H/w$
• Cable length: $S=2a\sinh(L/a)$; midspan sag: $f=a(\cosh(L/a)-1)$
• Taylor expansion: $y=a+\frac{x^2}{2a}+\frac{x^4}{24a^3}+\dots$
• Applications include suspension cables, arches and overhead power lines
• Malthusian growth: $\frac{dP}{dt}=rP \Rightarrow P(t)=P_0e^{rt}$
• Logistic growth: $\frac{dP}{dt}=rP(1-P/K) \Rightarrow P(t)=\frac{K}{1+Ae^{-rt}}$, $A=\frac{K-P_0}{P_0}$
• Inflection point: $P^*=K/2$, $t^*=\frac{1}{r}\ln A$, and $(dP/dt)_{\max}=\frac{rK}{4}$
• Carrying-capacity limit: $\lim_{t\to\infty}P(t)=K$
• Mean: $\overline{x}=\frac{1}{n}\sum n_jm_j$, where $m_j$ is a class midpoint
• Median: $M_e=u_m+\frac{\frac{n}{2}-C}{n_m}h$; similarly interpolate $Q_1$ and $Q_3$
• Mode: $M_o=u_m+\frac{n_m-n_{m-1}}{(n_m-n_{m-1})+(n_m-n_{m+1})}h$
• $IQR=Q_3-Q_1$; fences are $Q_1-1.5IQR$ and $Q_3+1.5IQR$
• Variance: $s^2=\frac{1}{n}\sum n_jm_j^2-(\overline{x})^2$; standard deviation: $s=\sqrt{s^2}$
• Cosine rule: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$
• Sine rule: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$
• Median: $m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$; angle bisector: $l_a=\frac{2bc\cos(A/2)}{b+c}$
• Area: $S=\frac12ah_a=\frac12ab\sin C=\frac{abc}{4R}=sr=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
• $p$-series $\sum\frac1{n^p}$ converges for $p>1$ and diverges for $p\le1$
• Ratio test: $L=\lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1$ implies absolute convergence
• Root and limit-comparison tests: $\lim\frac{a_n}{b_n}=c\in(0,\infty)$
• Alternating-series test: if $b_n$ decreases to $0$, then $\sum(-1)^{n-1}b_n$ converges
• Pearson correlation: $r=\frac{\sum(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum(x_i-\overline{x})^2\sum(y_i-\overline{y})^2}}$
• Least-squares line: $\hat y=ax+b$, where $a=r\frac{s_y}{s_x}$ and $b=\overline y-a\overline x$
• Handshaking lemma: $\sum\deg(v)=2|E|$, so the number of odd-degree vertices is even
• A tree has $|E|=|V|-1$; also review the pigeonhole principle and mathematical induction
• $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$
• $(u \cdot v)' = u'v + uv'$
• $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
• $(\sin x)' = \cos x; \quad (\cos x)' = -\sin x$
• $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \ne -1)$
• $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$
• $\int e^x dx = e^x + C$
• $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$ (Newton-Leibniz)
• Tổ hợp: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
• Chỉnh hợp: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
• Nhị thức Newton: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k} b^k$
• Xác suất cổ điển: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$
• $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
• $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}; \quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$
• $\sin 2x = 2\sin x \cos x$
• $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1$
• Bậc nhất $\sin, \cos$: $a\sin x + b\cos x = c$ ($a^2+b^2 \ge c^2$), chia $\sqrt{a^2+b^2} \implies \sin(x+\varphi) = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$
• Bậc hai $a\sin^2 x + b\sin x + c = 0$: Đặt $t = \sin x$ ($|t| \le 1$), hạ bậc $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$
• Đẳng cấp: $a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x = d$, xét $\cos x=0$ rồi chia $\cos^2 x \implies (a-d)\tan^2 x + b\tan x + (c-d) = 0$
• Đối xứng: $a(\sin x \pm \cos x) + b\sin x\cos x + c = 0$, đặt $t = \sin x \pm \cos x \implies \sin x\cos x = \pm\frac{t^2-1}{2}$ ($|t| \le \sqrt{2}$)
• Tích & Kẹp nghiệm: Biến đổi tổng thành tích $A \cdot B = 0$ hoặc đánh giá miền giá trị $|\sin u| \le 1, |\cos u| \le 1$.
• $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$
• $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + \dots$
• $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$
• $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$
• $\det(A) = ad - bc \quad (2 \times 2)$
• $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$
• Phương trình đặc trưng: $\det(A - \lambda I) = 0$
• Chéo hóa ma trận: $P^{-1}AP = D$
• $y' + P(x)y = Q(x) \Rightarrow y = e^{-\int P dx}\left[\int Q e^{\int P dx} dx + C\right]$
• Tuyến tính cấp 2: $y'' + ay' + by = 0$
• Phương trình đặc trưng: $k^2 + ak + b = 0$
• Dao động điều hòa: $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$
• $f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n\cos nx + b_n\sin nx)$
• Gradient: $\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$
• Định lý Green: $\oint_C Pdx + Qdy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$
• $\widehat{A} + \widehat{C} = 180^\circ, \quad \widehat{B} + \widehat{D} = 180^\circ$
• Định lý Ptolemy: $AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$
• Phương tích điểm: $\mathcal{P}_{P/(O)} = PA \cdot PB = PT^2 = d^2 - R^2$
• Góc tạo bởi tiếp tuyến & dây cung: $\widehat{TAB} = \frac{1}{2}\text{sđ}\overgroup{AB}$
• Định lý Thales ($MN // BC$): $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$
• Định lý Ceva (Đồng quy): $\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$
• Định lý Menelaus (Thẳng hàng): $\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$
• Công thức trung tuyến Apollonius: $m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$
• 2 bước kẻ từ chân đường cao $A$: $\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AK^2}$
• Kỹ thuật đổi điểm: $\frac{d(M, (P))}{d(A, (P))} = \frac{MI}{AI} \quad (MA \cap (P) = I)$
• Góc giữa đường và mặt: $\sin(d, (P)) = \frac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{|\vec{u}|\cdot|\vec{n}|}$
• Góc nhị diện giữa 2 mặt: $\cos((P), (Q)) = \frac{|\vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q|}{|\vec{n}_P| \cdot |\vec{n}_Q|}$
• Cạnh bên $SA \perp \text{đáy}$: $R_{\text{cầu}} = \sqrt{R_{\text{đáy}}^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2}$
• Khối chóp đều: $R_{\text{cầu}} = \frac{l^2}{2h} = \frac{R_{\text{đáy}}^2 + h^2}{2h}$
• Thể tích nón cụt: $V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2)$
• Diện tích xung quanh nón cụt: $S_{\text{xq}} = \pi (R + r)l$
• Định lý Euler: $V - E + F = 2$ (Đỉnh $-$ Cạnh $+$ Mặt $= 2$)
• Tứ diện đều $\{3, 3\}$: 4Đ - 6C - 4M, $V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$
• Lập phương $\{4, 3\}$: 8Đ - 12C - 6M, $V = a^3$
• Bát diện đều $\{3, 4\}$: 6Đ - 12C - 8M, $V = \frac{a^3\sqrt{2}}{3}$
• 12 mặt đều $\{5, 3\}$ (20Đ-30C-12M) & 20 mặt đều $\{3, 5\}$ (12Đ-30C-20M)
• Thể tích lăng trụ: $V = S_{\text{đáy}} \cdot h = S_{\text{trực diện}} \cdot l$
• Chiều cao lăng trụ xiên: $h = l \cdot \sin\alpha$
• Đường chéo hình hộp chữ nhật: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$
• Tỉ số thể tích lăng trụ tam giác: $\frac{V'}{V} = \frac{1}{3}\left(\frac{a'}{a} + \frac{b'}{b} + \frac{c'}{c}\right)$
• Thể tích chỏm cầu: $V_{\text{chỏm}} = \pi h^2 \left(R - \frac{h}{3}\right)$
• Diện tích chỏm cầu: $S_{\text{chỏm}} = 2\pi Rh$
• Hình xuyến Torus (Donut 3D): $V = 2\pi^2 R r^2, \quad S = 4\pi^2 Rr$
• Định lý Pappus-Guldinus: $V = 2\pi d_G \cdot S_{\text{phẳng}}$
• Diện tích tam giác: $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}\left| [\vec{AB}, \vec{AC}] \right|$
• Thể tích tứ diện: $V_{ABCD} = \frac{1}{6}\left| [\vec{AB}, \vec{AC}] \cdot \vec{AD} \right|$
• Thể tích khối hộp: $V_{\text{hộp}} = \left| [\vec{u}, \vec{v}] \cdot \vec{w} \right|$
• Khoảng cách 2 đường chéo nhau: $d(\Delta_1, \Delta_2) = \frac{\left| [\vec{u}_1, \vec{u}_2] \cdot \vec{M_1 M_2} \right|}{\left| [\vec{u}_1, \vec{u}_2] \right|}$
• Mặt Ellipsoid: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \Rightarrow V = \frac{4}{3}\pi abc$
• Hyperboloid 1 tầng: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ (Tháp làm mát)
• Hyperboloid 2 tầng: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$
• Paraboloid Hyperbolic: $z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}$ (Mặt yên ngựa)
• Đồng dư thức: $a \equiv b \pmod m \Leftrightarrow m \mid (a - b)$
• Định lý Fermat nhỏ: $p$ nguyên tố, $\gcd(a, p) = 1 \Rightarrow a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$
• Định lý Euler: $\gcd(a, m) = 1 \Rightarrow a^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod m$
• Định lý số dư Trung Hoa (CRT): Hệ $x \equiv a_i \pmod{m_i}$ có nghiệm duy nhất modulo $M = \prod m_i$.
• Đẳng thức Bézout: $\exists x_0, y_0 \in \mathbb{Z}: ax_0 + by_0 = \gcd(a, b) = d$
• Phương trình $ax + by = c$ có nghiệm khi và chỉ khi $d \mid c$
• Nghiệm tổng quát: $x = x_0 \frac{c}{d} + \frac{b}{d}t, \quad y = y_0 \frac{c}{d} - \frac{a}{d}t \quad (t \in \mathbb{Z})$
• Bộ ba Pythagoras nguyên: $x = m^2 - n^2, y = 2mn, z = m^2 + n^2 \quad (m > n > 0)$.
• Phân tích tiêu chuẩn: $n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \dots p_k^{\alpha_k}$
• Hàm Phi Euler: $\phi(n) = n \prod_{i=1}^k \left(1 - \frac{1}{p_i}\right) = \prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i-1}(p_i - 1)$
• Số ước $\tau(n) = \prod (\alpha_i + 1)$; Tổng ước $\sigma(n) = \prod \frac{p_i^{\alpha_i+1} - 1}{p_i - 1}$
• Hệ mật mã RSA: $n = pq, \phi(n) = (p-1)(q-1), ed \equiv 1 \pmod{\phi(n)}$; Mã hóa $C \equiv M^e \pmod n$, Giải mã $M \equiv C^d \pmod n$.
• Bậc lũy thừa nguyên tố Legendre: $v_p(n!) = \sum_{k=1}^\infty \left\lfloor \frac{n}{p^k} \right\rfloor$
• Số chữ số 0 tận cùng của $n!$: Bằng $v_5(n!) = \lfloor n/5 \rfloor + \lfloor n/25 \rfloor + \dots$
• Số hoàn hảo: $\sigma(n) = 2n \Leftrightarrow n = 2^{p-1}(2^p - 1)$ với $2^p - 1$ là số nguyên tố Mersenne
• Dấu hiệu chia hết: Cho 3 & 9 (tổng chữ số), cho 4 & 25 (2 số cuối), cho 8 & 125 (3 số cuối), cho 11 (hiệu tổng chữ số chẵn - lẻ).
• Catenary treo tự do: $y = a \cosh(x/a) = \frac{a}{2}(e^{x/a} + e^{-x/a})$ với $a = H/w$
• Chiều dài cáp: $S = 2a \sinh(L/a) = a(e^{L/a} - e^{-L/a})$; Độ võng giữa nhịp: $f = a(\cosh(L/a) - 1)$
• Khai triển Taylor: $y = a + \frac{x^2}{2a} + \frac{x^4}{24a^3} + \dots \approx \text{Parabol } y = k x^2$
• Ứng dụng thực tế: Cáp cầu treo Golden Gate, vòm Gateway Arch, đường dây điện cao thế.
• Malthus (Tăng trưởng vô hạn): $\frac{dP}{dt} = rP \implies P(t) = P_0 e^{rt}$
• Verhulst Logistic (Có sức chứa $K$): $\frac{dP}{dt} = rP(1 - P/K) \implies P(t) = \frac{K}{1 + Ae^{-rt}}$ ($A = \frac{K-P_0}{P_0}$)
• Điểm uốn (Tốc độ lây lan cực đại): $P^* = K/2$ tại thời điểm $t^* = \frac{1}{r}\ln(A)$, $(dP/dt)_{\max} = \frac{rK}{4}$
• Tiệm cận bão hòa: $\lim_{t \to \infty} P(t) = K$.
• Số trung bình: $\overline{x} = \frac{1}{n}\sum n_j m_j$ (với $m_j$ là giá trị đại diện nhóm)
• Trung vị: $M_e = u_m + \frac{\frac{n}{2} - C}{n_m} \cdot h$; Tứ phân vị $Q_1, Q_3$
• Mốt ghép nhóm: $M_o = u_m + \frac{n_m - n_{m-1}}{(n_m - n_{m-1}) + (n_m - n_{m+1})} \cdot h$
• Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q = Q_3 - Q_1$; Ngoại lai: $x < Q_1 - 1.5\Delta_Q$ hoặc $x > Q_3 + 1.5\Delta_Q$
• Phương sai: $s^2 = \frac{1}{n}\sum n_j m_j^2 - (\overline{x})^2$; Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{s^2}$.
• Định lý Cosin: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A \implies \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
• Định lý Sin: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$
• Trung tuyến: $m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$; Phân giác: $l_a = \frac{2bc\cos(A/2)}{b+c}$
• 5 công thức diện tích: $S = \frac{1}{2}ah_a = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{abc}{4R} = pr = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (Heron).
• Chuỗi Riemann $p$-series $\sum \frac{1}{n^p}$: Hội tụ khi $p > 1$, phân kỳ khi $p \le 1$ ($p=1$ chuỗi điều hòa)
• Tiêu chuẩn tỉ số D'Alembert (Ratio Test): $L = \lim \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1$ (Hội tụ tuyệt đối)
• Tiêu chuẩn căn Cauchy & So sánh giới hạn (LCT): $\lim \frac{a_n}{b_n} = c \in (0, \infty)$
• Chuỗi đan dấu Leibniz: Dãy $b_n$ giảm và $\lim b_n = 0 \implies \sum (-1)^{n-1} b_n$ hội tụ; Bán kính hội tụ $R$.
• Hệ số tương quan Pearson: $r = \frac{\sum (x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \overline{x})^2 \sum (y_i - \overline{y})^2}} \in [-1, 1]$
• Đường hồi quy mẫu: $\hat{y} = ax + b$ với $a = r \frac{s_y}{s_x}, b = \overline{y} - a\overline{x}$ (luôn đi qua $(\overline{x}, \overline{y})$)
• Bổ đề bắt tay đồ thị: $\sum \deg(v) = 2|E| \implies$ số đỉnh bậc lẻ luôn là số chẵn
• Cây liên thông $|E| = |V| - 1$; Nguyên lý Dirichlet (Pigeonhole) & Quy nạp toán học.