Mô phỏng toán học
|
Hàm Số Bậc Nhất: y = ax + b
(x: 0.00, y: 0.00)
3D: 40° / 25°
Phòng Thí Nghiệm Toán Học Ảo K-6 đến K-12 & IGCSE / A-Level
• $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$
• $(u \cdot v)' = u'v + uv'$
• $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
• $(\sin x)' = \cos x; \quad (\cos x)' = -\sin x$
• $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \ne -1)$
• $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$
• $\int e^x dx = e^x + C$
• $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$ (Newton-Leibniz)
• Tổ hợp: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
• Chỉnh hợp: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
• Nhị thức Newton: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k} b^k$
• Xác suất cổ điển: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$
• $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
• $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}; \quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$
• $\sin 2x = 2\sin x \cos x$
• $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1$
• $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$
• $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + \dots$
• $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$
• $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$
• $\det(A) = ad - bc \quad (2 \times 2)$
• $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$
• Phương trình đặc trưng: $\det(A - \lambda I) = 0$
• Chéo hóa ma trận: $P^{-1}AP = D$
• $y' + P(x)y = Q(x) \Rightarrow y = e^{-\int P dx}\left[\int Q e^{\int P dx} dx + C\right]$
• Tuyến tính cấp 2: $y'' + ay' + by = 0$
• Phương trình đặc trưng: $k^2 + ak + b = 0$
• Dao động điều hòa: $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$
• $f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n\cos nx + b_n\sin nx)$
• Gradient: $\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$
• Định lý Green: $\oint_C Pdx + Qdy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$
• $\widehat{A} + \widehat{C} = 180^\circ, \quad \widehat{B} + \widehat{D} = 180^\circ$
• Định lý Ptolemy: $AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$
• Phương tích điểm: $\mathcal{P}_{P/(O)} = PA \cdot PB = PT^2 = d^2 - R^2$
• Góc tạo bởi tiếp tuyến & dây cung: $\widehat{TAB} = \frac{1}{2}\text{sđ}\overgroup{AB}$
• Định lý Thales ($MN // BC$): $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$
• Định lý Ceva (Đồng quy): $\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$
• Định lý Menelaus (Thẳng hàng): $\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$
• Công thức trung tuyến Apollonius: $m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$
• 2 bước kẻ từ chân đường cao $A$: $\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AK^2}$
• Kỹ thuật đổi điểm: $\frac{d(M, (P))}{d(A, (P))} = \frac{MI}{AI} \quad (MA \cap (P) = I)$
• Góc giữa đường và mặt: $\sin(d, (P)) = \frac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{|\vec{u}|\cdot|\vec{n}|}$
• Góc nhị diện giữa 2 mặt: $\cos((P), (Q)) = \frac{|\vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q|}{|\vec{n}_P| \cdot |\vec{n}_Q|}$
• Cạnh bên $SA \perp \text{đáy}$: $R_{\text{cầu}} = \sqrt{R_{\text{đáy}}^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2}$
• Khối chóp đều: $R_{\text{cầu}} = \frac{l^2}{2h} = \frac{R_{\text{đáy}}^2 + h^2}{2h}$
• Thể tích nón cụt: $V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2)$
• Diện tích xung quanh nón cụt: $S_{\text{xq}} = \pi (R + r)l$
• Định lý Euler: $V - E + F = 2$ (Đỉnh $-$ Cạnh $+$ Mặt $= 2$)
• Tứ diện đều $\{3, 3\}$: 4Đ - 6C - 4M, $V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$
• Lập phương $\{4, 3\}$: 8Đ - 12C - 6M, $V = a^3$
• Bát diện đều $\{3, 4\}$: 6Đ - 12C - 8M, $V = \frac{a^3\sqrt{2}}{3}$
• 12 mặt đều $\{5, 3\}$ (20Đ-30C-12M) & 20 mặt đều $\{3, 5\}$ (12Đ-30C-20M)
• Thể tích lăng trụ: $V = S_{\text{đáy}} \cdot h = S_{\text{trực diện}} \cdot l$
• Chiều cao lăng trụ xiên: $h = l \cdot \sin\alpha$
• Đường chéo hình hộp chữ nhật: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$
• Tỉ số thể tích lăng trụ tam giác: $\frac{V'}{V} = \frac{1}{3}\left(\frac{a'}{a} + \frac{b'}{b} + \frac{c'}{c}\right)$
• Thể tích chỏm cầu: $V_{\text{chỏm}} = \pi h^2 \left(R - \frac{h}{3}\right)$
• Diện tích chỏm cầu: $S_{\text{chỏm}} = 2\pi Rh$
• Hình xuyến Torus (Donut 3D): $V = 2\pi^2 R r^2, \quad S = 4\pi^2 Rr$
• Định lý Pappus-Guldinus: $V = 2\pi d_G \cdot S_{\text{phẳng}}$
• Diện tích tam giác: $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}\left| [\vec{AB}, \vec{AC}] \right|$
• Thể tích tứ diện: $V_{ABCD} = \frac{1}{6}\left| [\vec{AB}, \vec{AC}] \cdot \vec{AD} \right|$
• Thể tích khối hộp: $V_{\text{hộp}} = \left| [\vec{u}, \vec{v}] \cdot \vec{w} \right|$
• Khoảng cách 2 đường chéo nhau: $d(\Delta_1, \Delta_2) = \frac{\left| [\vec{u}_1, \vec{u}_2] \cdot \vec{M_1 M_2} \right|}{\left| [\vec{u}_1, \vec{u}_2] \right|}$
• Mặt Ellipsoid: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \Rightarrow V = \frac{4}{3}\pi abc$
• Hyperboloid 1 tầng: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ (Tháp làm mát)
• Hyperboloid 2 tầng: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$
• Paraboloid Hyperbolic: $z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}$ (Mặt yên ngựa)
• Đồng dư thức: $a \equiv b \pmod m \Leftrightarrow m \mid (a - b)$
• Định lý Fermat nhỏ: $p$ nguyên tố, $\gcd(a, p) = 1 \Rightarrow a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$
• Định lý Euler: $\gcd(a, m) = 1 \Rightarrow a^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod m$
• Định lý số dư Trung Hoa (CRT): Hệ $x \equiv a_i \pmod{m_i}$ có nghiệm duy nhất modulo $M = \prod m_i$.
• Đẳng thức Bézout: $\exists x_0, y_0 \in \mathbb{Z}: ax_0 + by_0 = \gcd(a, b) = d$
• Phương trình $ax + by = c$ có nghiệm khi và chỉ khi $d \mid c$
• Nghiệm tổng quát: $x = x_0 \frac{c}{d} + \frac{b}{d}t, \quad y = y_0 \frac{c}{d} - \frac{a}{d}t \quad (t \in \mathbb{Z})$
• Bộ ba Pythagoras nguyên: $x = m^2 - n^2, y = 2mn, z = m^2 + n^2 \quad (m > n > 0)$.
• Phân tích tiêu chuẩn: $n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \dots p_k^{\alpha_k}$
• Hàm Phi Euler: $\phi(n) = n \prod_{i=1}^k \left(1 - \frac{1}{p_i}\right) = \prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i-1}(p_i - 1)$
• Số ước $\tau(n) = \prod (\alpha_i + 1)$; Tổng ước $\sigma(n) = \prod \frac{p_i^{\alpha_i+1} - 1}{p_i - 1}$
• Hệ mật mã RSA: $n = pq, \phi(n) = (p-1)(q-1), ed \equiv 1 \pmod{\phi(n)}$; Mã hóa $C \equiv M^e \pmod n$, Giải mã $M \equiv C^d \pmod n$.
• Bậc lũy thừa nguyên tố Legendre: $v_p(n!) = \sum_{k=1}^\infty \left\lfloor \frac{n}{p^k} \right\rfloor$
• Số chữ số 0 tận cùng của $n!$: Bằng $v_5(n!) = \lfloor n/5 \rfloor + \lfloor n/25 \rfloor + \dots$
• Số hoàn hảo: $\sigma(n) = 2n \Leftrightarrow n = 2^{p-1}(2^p - 1)$ với $2^p - 1$ là số nguyên tố Mersenne
• Dấu hiệu chia hết: Cho 3 & 9 (tổng chữ số), cho 4 & 25 (2 số cuối), cho 8 & 125 (3 số cuối), cho 11 (hiệu tổng chữ số chẵn - lẻ).
• Catenary treo tự do: $y = a \cosh(x/a) = \frac{a}{2}(e^{x/a} + e^{-x/a})$ với $a = H/w$
• Chiều dài cáp: $S = 2a \sinh(L/a) = a(e^{L/a} - e^{-L/a})$; Độ võng giữa nhịp: $f = a(\cosh(L/a) - 1)$
• Khai triển Taylor: $y = a + \frac{x^2}{2a} + \frac{x^4}{24a^3} + \dots \approx \text{Parabol } y = k x^2$
• Ứng dụng thực tế: Cáp cầu treo Golden Gate, vòm Gateway Arch, đường dây điện cao thế.
• Malthus (Tăng trưởng vô hạn): $\frac{dP}{dt} = rP \implies P(t) = P_0 e^{rt}$
• Verhulst Logistic (Có sức chứa $K$): $\frac{dP}{dt} = rP(1 - P/K) \implies P(t) = \frac{K}{1 + Ae^{-rt}}$ ($A = \frac{K-P_0}{P_0}$)
• Điểm uốn (Tốc độ lây lan cực đại): $P^* = K/2$ tại thời điểm $t^* = \frac{1}{r}\ln(A)$, $(dP/dt)_{\max} = \frac{rK}{4}$
• Tiệm cận bão hòa: $\lim_{t \to \infty} P(t) = K$.